חיות מחמד מורכב מהמילה מוחמד??

לא

סביר שזה מאותו שורש, כן.
מחמדים זה דברים אהובים בעברית.
מוחמד זה אהוב והשורש הזה משותף בעברית וערבית (כמו המון מילים אחרות).