מישהו פה יודע את כלל לופיטל ויודע להסביר אותו ומה המטרה שלו?

inf=infinite יעני אינסוף, ואנחנו מרוויחים מהכלל הזה דרך לחישוב גבולות שבמבט ראשון נראים לנו בעייתיים.

למשל, חשב את הגבול הבא:

lim[x->0](x/sin(x))

זה בעיקרון ע"י הצבה יוצא "0"/"0", שני ביטויים ששואפים ל0 אבל אנחנו לא יכולים להכריע פה כלום, לכן ניעזר בלופיטל ונטען:

lim[x->0](x/sin(x))=lim[x->0](x'/sin'(x))

=lim[x->0](1/cos(x))=1/1=1

ז"א שמצאנו ערך גבול שנראה היה לנו מוזר כזה דרך לופיטל.
אגב, לגבול הזה ספיציפית יש דרך יותר מגניבה להוכיח שהוא שווה ל1, אבל היא ארוכה ואין לי כוח להסביר אותה

שואל השאלה:
מה זה inf/inf? ומה אנחנו מרוויחים מהכלל?

אם ישך גבולות מהצורה inf/inf או "0"/"0" והפונקציות במונה ובמכנה גזירות (בסביבה מנוקבת של הנקודה סביבה הגבול) אז אפשר לגזור הן את הפונק' במונה והן את הפונק' במכנה, וכלל לופיטל אומר שאם הגבול החדש קיים וסופי, אזי הוא שווה לגבול המקורי.

רוצה הוכחה ללופיטל של "0"/"0"?
נניח f(a)=g(a)=0 ואז מתקיים:
?="lim[x->a](f(x)/g(x))="0"/"0

הפונקציות f,g רציפות בסביבת a וגזירות בסביבה מנוקבת של a ולכן:
f'(a)=lim[x->a]((f(x)-f(a))/(x-a)
g'(a)=lim[x->a](g(x)-g(a))/(x-a)

נציב בביטויים של הנגזרות f(a)=g(a)=0 ונחלק את הביטויים:

f'(a)/g'(a)
lim[x->a](f(x)/(x-a))/(lim[...](g(x)/(x-a)))=

אם הגבולות החלקיים האלו קיימים אז אפשר לאחד אותם לכדי גבול אחד:

=lim[x->a](f'(x)/g'(x)), אבל מצד שני אם נשים לב טוב, אז x#a ולכן אפשר לצמצם בביטוי הקודם את הx-a (לאחר איחוד הגבולות), לכן נקבל:
=lim[x->a](f(x)/g(x)).

קיצור קיבלנו שכל עוד הגבולות החלקיים קיימים, וגם אם g'(a)#0, אז גם הגבול של הנגזרות קיים ושווה לגבול המקורי.