6 תשובות
כאשר יש לנו משוואה עם מנה מפרשת לא ניתן לפתורה באופן ישיר. במקרה של משוואה מינוס לן על הצד השמאלי ואיקס פחות אחד על הצד הימני, כמו במשוואה המוצגת כאן, נדרש לבצע פעולות חשבון כדי לפתור את המשוואה. כדי לפתור אותה, נצטרך להעביר את הכלל החלקי איקס לצד שמאל של המשוואה ולהפעיל פעולות חשבון על מנת לפתור את המשוואה.
אין אפשר לפתור את זה.
הכי פשוט להוכיח זה דרך סרטוט. תציירי גרף של ln(x)- וגרף של 1/x ותראי שאין בין הגרפים נקודת חיתוך ולכן אין פתרון
הכי פשוט להוכיח זה דרך סרטוט. תציירי גרף של ln(x)- וגרף של 1/x ותראי שאין בין הגרפים נקודת חיתוך ולכן אין פתרון
שואל השאלה:
גם אם אני מעביר את האחד חלקי איקס לצד השני ככה שיוצא ln(x)=1/x- אני לא יודע איך לפתור את זה
גם אם אני מעביר את האחד חלקי איקס לצד השני ככה שיוצא ln(x)=1/x- אני לא יודע איך לפתור את זה
נגדיר פונקציה f(x) שהיא האגף השמאלי של המשוואה שלך, ונחקור אותה:
f(x)=ln(x)+1/x
f'(x)=1/x-1/x^2
f'(x)=(x-1)/x^2
לכן יש קיצון (ככל הנראה) עבור x=1, אם נבדוק שזה באמת קיצון אז לבסוף נקבל שזה מינימום מקומי.
נציב:
f(1)=ln(1)+1/1=1
f היא פונקציה רציפה בתחום ההגדרה שלה ולכן מתקיים שy=1 הוא הערך המינימלי של הפונקציה.
מכאן שf לא יכולה להיות שווה ל0, ולתרגיל שלך אין פתרון.
f(x)=ln(x)+1/x
f'(x)=1/x-1/x^2
f'(x)=(x-1)/x^2
לכן יש קיצון (ככל הנראה) עבור x=1, אם נבדוק שזה באמת קיצון אז לבסוף נקבל שזה מינימום מקומי.
נציב:
f(1)=ln(1)+1/1=1
f היא פונקציה רציפה בתחום ההגדרה שלה ולכן מתקיים שy=1 הוא הערך המינימלי של הפונקציה.
מכאן שf לא יכולה להיות שווה ל0, ולתרגיל שלך אין פתרון.
נתחיל בתחום הגדרה: x>0
עכשיו נפתור
נעביר אגפים ונקבל:
lnx=-1/x
נכפול את 2 האגפים בx
xlnx=-1
נעלה את 2 האגפים כחזקה של e
e^(xlnx)=e^-1
e^lnx)^x=e^-1)
x^x=e^-1
הדרך היחידה לבדוק חיתוך בין הפונקציה x^x לישר y=e^-1 היא באמצעות חקירת הפונקציה x^x.
y=x^x
כדי לגזור את הפונקציה נעשה טריק מתמטי:
נעשה לאן של 2 האגפים
lny=ln(x^x)
lny=xlnx
עכשיו נגזור את 2 האגפים
y'/y=1*lnx+x*1/x
y'/y=lnx+1
y'=y(lnx+1)
y'=x^x(lnx+1)
נשווה ל0
x^x לא יכול להיות שווה ל0 כי שום מספר בחזקת עצמו לא שווה ל0.
lnx+1=0
lnx=-1
x=e^-1
זאת נקודת הקיצון שלנו
נבדוק מה שיעור הy שלה
(y(e^-1)=(e^-1)^(e^-1
שזה שווה בקירוב ל0.692.
נבדוק את סוג נקודת הקיצון באמצעות נגזרת שנייה, אבל כדי לא לגזור את הנגזרת המורכבת מאוד הזאת נעשה טריק ונעביר את הx^x למכנה על ידי העלתו בחזקת 1-.
y'=(lnx+1)/(x^-x)
עכשיו בגלל שהמכנה x^-x תמיד חיובי אפשר לגזור רק את המונה בשביל למצוא את סימן הנגזרת השנייה:
y''=1/x
בגלל שx גדול מ0 אז תמיד הביטוי הזה יהיה חיובי ולכן סוג הקיצון הוא מינימום.
כלומר הערך המינימלי של הפונקציה x^x הוא 0.692.
עכשיו נבדוק מה הערך המדוייק של הישר y=e^-1.
e^-1 שווה בקירוב ל0.368, שזה קטן מהערך המינימלי של הפונקציה x^x, ולכן איך חיתוך בין הישר y=e^-1 לבין הפונקציה x^x, ולכן למשוואה lnx-1/x=0- אין פיתרון ממשי.
מ.ש.ל
עכשיו נפתור
נעביר אגפים ונקבל:
lnx=-1/x
נכפול את 2 האגפים בx
xlnx=-1
נעלה את 2 האגפים כחזקה של e
e^(xlnx)=e^-1
e^lnx)^x=e^-1)
x^x=e^-1
הדרך היחידה לבדוק חיתוך בין הפונקציה x^x לישר y=e^-1 היא באמצעות חקירת הפונקציה x^x.
y=x^x
כדי לגזור את הפונקציה נעשה טריק מתמטי:
נעשה לאן של 2 האגפים
lny=ln(x^x)
lny=xlnx
עכשיו נגזור את 2 האגפים
y'/y=1*lnx+x*1/x
y'/y=lnx+1
y'=y(lnx+1)
y'=x^x(lnx+1)
נשווה ל0
x^x לא יכול להיות שווה ל0 כי שום מספר בחזקת עצמו לא שווה ל0.
lnx+1=0
lnx=-1
x=e^-1
זאת נקודת הקיצון שלנו
נבדוק מה שיעור הy שלה
(y(e^-1)=(e^-1)^(e^-1
שזה שווה בקירוב ל0.692.
נבדוק את סוג נקודת הקיצון באמצעות נגזרת שנייה, אבל כדי לא לגזור את הנגזרת המורכבת מאוד הזאת נעשה טריק ונעביר את הx^x למכנה על ידי העלתו בחזקת 1-.
y'=(lnx+1)/(x^-x)
עכשיו בגלל שהמכנה x^-x תמיד חיובי אפשר לגזור רק את המונה בשביל למצוא את סימן הנגזרת השנייה:
y''=1/x
בגלל שx גדול מ0 אז תמיד הביטוי הזה יהיה חיובי ולכן סוג הקיצון הוא מינימום.
כלומר הערך המינימלי של הפונקציה x^x הוא 0.692.
עכשיו נבדוק מה הערך המדוייק של הישר y=e^-1.
e^-1 שווה בקירוב ל0.368, שזה קטן מהערך המינימלי של הפונקציה x^x, ולכן איך חיתוך בין הישר y=e^-1 לבין הפונקציה x^x, ולכן למשוואה lnx-1/x=0- אין פיתרון ממשי.
מ.ש.ל
אה כן אני יודע שאפשר לעשות את מה שהזה שמעליי עשה שזה פשוט לחקור את האגף השמאלי ולקבל שהערך המינימלי גבוה מ0, אבל אני מאוד אוהב לסבך דברים, במיוחד מתמטיקה
באותו הנושא: