איך מוכיחים כי נקודת מפגש התיכונים היא הממוצע של קודקודי המשולש מתוקים שלי

אפשר להוכיח את זה ביחד עם עוד טענה מוכרת במכה אחת: בוא נוכיח שממוצע קודקודי המשולש הוא גם מפגש התיכונים, וגם מחלק כל תיכון ביחס של 2:1.

נוכיח את זה לתיכון אחד והשאר נובע מסימטריה. נניח שאנחנו מדברים על משולש abc ונסתכל על התיכון מa לbc, כלומר על הישר am כשm אמצע bc.
נכתוב a=(a1, a2), b=(b1, b2) c=(c1, c2). אז
m = ((b1+c1)/2, (b2+c2)/2) = (m1, m2)

עכשיו בוא נבין מה היא הנקודה שמחלקת את am ביחס של 2:1 (כלומר נקודה g על הקטע am המקיימת ag=2gm). נקודה כזו היא ממוצע משוקלל של a עם m כשm מקבל משקל כפול משל a, לנוסחה הזו קוראים בתיכון "חלוקת קטע ביחס נתון" או משהו דומה, לא זוכר כבר.
אבל בכל מקרה יוצא ששיעור הx של g שווה ל(תתעלם מהzzz)
zzz 1/3 * a1 + 2/3 * m1 = 1/3 (a1+b1+c1)

כלומר בדיוק ממוצע הקואורדינטות הראשונות של a, b, c!
באותו אופן רואים שזה גם נכון לקואורדינטה השנייה, ולכן קיבלנו שg היא ממוצע הקודקודים של a,b,c והיא מחלקת את התיכון ביחס 2:1. באותו אופן רואים את זה גם לשאר התיכונים.