יש קשר בין הפלסטינים לבין פלשתינה או הפלשתים?

כן
קראו לפלסטינים אחרי הפלישתים

לא
פשוט קראו להם על שמם

כן.
פלשתינה היא השם שניתן לישראל (על שם הפלישתים) כאות ענישה לאחר מרד בר כוכבא מצד היוונים, ולכן האנשים שישבו בישראל באותו הזמן נקראו פלשתינאים.
מה שפרו פלסטיניים כיום לא יודעים, שיש גם פלסטינאים יהודים, כיוון שפלשתינה זה בעצם ישראל.
הפלסטינאים הערבים ש"גורשו" לקחו על עצמם את האג'נדה של פלסטינים שנכבשו מארצם - פלסטין, אם כי מעולם לא הייתה מדינה בשם פלסטין, אחרי הכיבוש של ממלכת יהודה על ידי היוונים וקריאתה "פלסטין" היא הייתה שייכת לעמים שונים ולעולם לא הייתה מדינה עצמאית.

אין קשר, הפלסטינים נדחפו סתם ככה