מה המחזור של טנגנס בריבוע?

לא.
בוא נסביר למה...

הפונקציה טנגנס מחזורית כל פאי.
הפונקציות סינוס וקוסינוס למשל מחזוריות כל 2 פאי.

בשביל שפונקציה טריגונומטרית תהיה מחזורית יש צורך בשוויון הבא:

f(x) = f (x+t)

כלומר, כל t שיתקבל נשווה למחזורים הבסיסיים של כל פונקציה. בסינוס וקוסינוס נשווה ל2 פאי, ובטנגנס לכל פאי.


ניתן דוגמה קודם כל למצב בו פונקציה היא *כן* מחזורית לפני שנסביר למה טנגנס איקס בריבוע הוא לא מחזורי.

נבחן את המקרה של cos (5x+4).
ניצור משוואה:
cos (5x+4) = cos (5(x+t)+4)
נפתח סוגריים ונקבל:
cos (5x+4) = cos (5x+5t+4)
שזה בדיוק כמו:
cos (5x+4) = cos (5x+4+5t)

אם נסתכל טוב טוב אפשר להגיד שכל 5x+4+2pi הפונקציה חוזרת על עצמה.
(pi=פאי)

מה שאומר שבכל פעם ש5t יהיה שווה לפאי... נקבל שהפונקציה מחזורית, כי משני הצדדים ה5x+4 יתקזזו.

להזכירך, מדובר במשוואה טריגונומטרית פשוטה מסוג קוס = קוס.

במצב שלנו בתרגיל ששאלת האם טנגנס של איקס בריבוע מחזורי, שוב נכניס זאת למשוואה:
f(x) = f (x+t)
ונקבל...

tan (x^2) = tan ((x+t)^2)
לפי כפל מקוצר:
tan (x^2) = tan (x^2+2xt+t^2)

רואים שהאיקס בריבוע מתקזז משני צדדים, אך נשארנו עם...
2xt+t^2 שצריך להשוות למחזור פאי.

מכיוון שנשארנו עם ביטוי שתלוי בx זה אומר שהפונקציה לא מחזורית.