מה הפסוק בתנך שכתוב שמותר לעשות נזם

לא כתוב שמותר, אלא מסופר שאליעזר עבד אברהם נתן נזם לרחל, לשים באף, וברור שזה היה בסדר גמור.
אבל הדברים האלה הם תלויי תרבות. אם קיים איסור, זה לא יהיה על הדבר עצמו אלא שזה יהיה נגיד שמישהו אומר שזה לא מתאים ולא טוב כיום בזמן ומקום שזה לא מקובל וזה מייצג איזה משהו לא יודע שלילי.
לי אין דיעה על זה, אני רק מביא את הנתונים, ומסביר מה יכול להיות הכוונה אם שמעת שיש "איסור".

כתוב שאסור לפגוע בגוף שלנו וגם קעקועים אסור

לגבי כתובת קעקע כתוב משהו, שזה "וכתובת קעקע לא תעשו בבשרכם".
לא כתוב שאסור לעשות שינוי בגוף בשביל נזם, ואכן לא נהוג לאסור עשיית חור לעגילים באוזניים.