4 תשובות
גבר לא יצרת שאלה טריקית, יצרת שאלה לא אפשרית... אם יש לך עשרה תאים ואחד עשר אסירים, ואתה רוצה אסיר אחד בלבד בכל תא, לא משנה מה תעשה תמיד יהיה לך אסיר לא בתא, זה חשבון פשוט גבר...
זו בעיית שובך היונים.
השאלה הזו מציגה מצב בלתי אפשרי.
השאלה הזו מציגה מצב בלתי אפשרי.
ההסתברות שלפחות אסיר אחד יחזור לאותו תא כמו קודם היא כ-0.634 לכלא x ו-0.705 לכלא y.
א. כדי לוודא שכל תא מתמלא באסיר אחד בלבד ואין אסיר ללא תא, נוכל לבצע את השלבים הבאים:
1. מספרו את התאים בכל כלא מ-1 עד 10 לכלא x ו-1 עד 12 עבור כלא y.
2. הקצה מספר לכל אסיר מ-1 עד 11 לכלא x ו-1 עד 13 לכלא y.
3. השתמש במחולל מספרים אקראיים כדי להקצות אסיר לתא בכל כלא. לדוגמה, צור מספר אקראי בין 1 ל-10 עבור כלא x והקצה את האסיר עם המספר הזה לתא עם המספר המתאים. חזור על התהליך עבור כלא y.
4. אם תא כבר תפוס, חזור על שלב 3 עד שיימצא תא ריק.
ב.ניתן לחשב את ההסתברות שלפחות אסיר אחד יחזור לאותו תא כמו קודם באמצעות עקרון ההכללה-ההדרה. תן a1 להיות האירוע שבו אסיר 1 חוזר לאותו תא, a2 יהיה האירוע שבו אסיר 2 חוזר לאותו תא, וכן הלאה עד a11 (או a13 עבור כלא y). אז ההסתברות של לפחות אסיר אחד לחזור לאותו תא ניתנת על ידי:
p(אסיר אחד לפחות חוזר לאותו תא) = p(a1 u a2 u ... u a11)
באמצעות עקרון ההכללה-אי הכללה, נוכל לכתוב:
p(a1 u a2 u ... u a11) = p(ai) - p(ai aj) + p(ai aj ak) - ... + (-1)^11 p(a1 a2 ... a11)
כאשר הסכום הראשון נלקח על כל האירועים הבודדים, הסכום השני נלקח על כל זוגות האירועים, הסכום השלישי נלקח על כל השלשות של האירועים, וכן הלאה. המונח האחרון הוא צומת כל האירועים.
מכיוון שלכל אסיר יש סיכוי שווה לשיוך לכל תא, ההסתברות של כל אירוע ai היא 1/10 לכלא x ו-1/12 לכלא y. ההסתברות להצטלבות של כל שני אירועים ai ו-aj היא 1/ 10 * 1/9 = 1/90 לכלא x ו- 1/12 * 1/11 = 1/132 לכלא y, שכן יש 10 תאים לבחירה עבור האסיר הראשון ונשארו 9 תאים עבור האסיר השני. באופן דומה, ההסתברות להצטלבות של כל שלושה אירועים ai, aj ו-ak היא 1/10 * 1/9 * 1/8 = 1/720 עבור כלא x ו-1/12 * 1/11 * 1/10 = 1 /1320 לכלא י.
החלפת ערכים אלה בנוסחה, נקבל:
p(אסיר אחד לפחות חוזר לאותו תא) = 11/10 - 55/900 + 165/7200 - ... + (-1)^11/239500800
עבור כלא x, זה מפשט ל:
p(כל הפחות אסיר אחד חוזר לאותו תא) = 0.634
עבור כלא y, זה מפשט ל:
p(כל הפחות אסיר אחד חוזר לאותו תא) = 0.705
לכן, ההסתברות שלפחות אסיר אחד יחזור לאותו תא כמו קודם היא כ-0.634 לכלא x ו-0.705 לכלא y.
1. מספרו את התאים בכל כלא מ-1 עד 10 לכלא x ו-1 עד 12 עבור כלא y.
2. הקצה מספר לכל אסיר מ-1 עד 11 לכלא x ו-1 עד 13 לכלא y.
3. השתמש במחולל מספרים אקראיים כדי להקצות אסיר לתא בכל כלא. לדוגמה, צור מספר אקראי בין 1 ל-10 עבור כלא x והקצה את האסיר עם המספר הזה לתא עם המספר המתאים. חזור על התהליך עבור כלא y.
4. אם תא כבר תפוס, חזור על שלב 3 עד שיימצא תא ריק.
ב.ניתן לחשב את ההסתברות שלפחות אסיר אחד יחזור לאותו תא כמו קודם באמצעות עקרון ההכללה-ההדרה. תן a1 להיות האירוע שבו אסיר 1 חוזר לאותו תא, a2 יהיה האירוע שבו אסיר 2 חוזר לאותו תא, וכן הלאה עד a11 (או a13 עבור כלא y). אז ההסתברות של לפחות אסיר אחד לחזור לאותו תא ניתנת על ידי:
p(אסיר אחד לפחות חוזר לאותו תא) = p(a1 u a2 u ... u a11)
באמצעות עקרון ההכללה-אי הכללה, נוכל לכתוב:
p(a1 u a2 u ... u a11) = p(ai) - p(ai aj) + p(ai aj ak) - ... + (-1)^11 p(a1 a2 ... a11)
כאשר הסכום הראשון נלקח על כל האירועים הבודדים, הסכום השני נלקח על כל זוגות האירועים, הסכום השלישי נלקח על כל השלשות של האירועים, וכן הלאה. המונח האחרון הוא צומת כל האירועים.
מכיוון שלכל אסיר יש סיכוי שווה לשיוך לכל תא, ההסתברות של כל אירוע ai היא 1/10 לכלא x ו-1/12 לכלא y. ההסתברות להצטלבות של כל שני אירועים ai ו-aj היא 1/ 10 * 1/9 = 1/90 לכלא x ו- 1/12 * 1/11 = 1/132 לכלא y, שכן יש 10 תאים לבחירה עבור האסיר הראשון ונשארו 9 תאים עבור האסיר השני. באופן דומה, ההסתברות להצטלבות של כל שלושה אירועים ai, aj ו-ak היא 1/10 * 1/9 * 1/8 = 1/720 עבור כלא x ו-1/12 * 1/11 * 1/10 = 1 /1320 לכלא י.
החלפת ערכים אלה בנוסחה, נקבל:
p(אסיר אחד לפחות חוזר לאותו תא) = 11/10 - 55/900 + 165/7200 - ... + (-1)^11/239500800
עבור כלא x, זה מפשט ל:
p(כל הפחות אסיר אחד חוזר לאותו תא) = 0.634
עבור כלא y, זה מפשט ל:
p(כל הפחות אסיר אחד חוזר לאותו תא) = 0.705
לכן, ההסתברות שלפחות אסיר אחד יחזור לאותו תא כמו קודם היא כ-0.634 לכלא x ו-0.705 לכלא y.
באותו הנושא: