מה זה i במתמטיקה?

i זה לא מספר, זה סוג של סימון

אין שורש למספר שלילי

שורש של מינוס אחד.
אתה צודק. אין שורש למינוס אחד. זה לא מספר. או יותר נכון, זה לא מספר ממשי (המספרים הרגילים על ציר המספרים).
מה שעושים זה להוסיף את i להיות מספר נוסף שהמצאנו. מסתבר שזה עובד וכל הפעולות שאנחנו מכירים עובדות גם עם i.
למעשה קורה אפילו דבר מגניב יותר. עם i אפשר לפתור כל משוואה ריבועית (המינוס בשורש הוא כבר לא אסור). ויותר מזה- לכל פולינום יש שורש כשמוסיפים את i. זה משפט סופר חשוב ויסודי במתמטיקה שיש לו הרבה הוכחות בתחומים שונים והם ממש לא טריוויאליים.
בהרבה תחומים במתמטיקה, (בעיקר ביישומים!), מסתבר שהרבה יותר נוח לעבוד ב"עולם המרוכב", כלומר עם i. זה הופך הרבה דברים להרבה יותר אלגנטיים.
הכי יפה לדעתי זה שבעולם המרוכב פונקציית האקספוננט e^x, היא מאותה משפחה של הפונקציות הטריגונומטריות sin x ו-cos x. זה נקרא נוסחת אוילר.
כמובן שאני יכול לחפור על זה עוד שעות

כל אלה שלא יודעים אתם סתם מבלבלים אותו לא להגיב שטויות

i זה השורש של מינוס אחד, כמו שאמרת.
הרעיון של i זה שהוא מספר דמיוני, כלומר, הוא מספר שלא יכול להתקיים בפני עצמו, ולרוב הוא מתבטל או שהוא הופך להיות בחזקת 2 ופשוט נהיה 1-.

מספרים דמיוניים (z), יהיו בצורה של
z=a+bi, כש-a ו-b הם מספרים "אמיתיים" (בין אם מספרים רציונליים, טבעיים או א-רציונליים כמו פאי).

יש מספר שימושים לאיי, כמו בפונקציית הגל של אוילר, אבל אני מניח שבתיכון בעיקר משתמשים בזה בשביל וקטורים.

מספרים מרוכבים, לומדים את זה ביב חמש יחל

זו המצאה שהמציאו כדי להגדיר את השורש של 1-. זה נקרא "מספר מדומה", מהמילה "דמיון", כי i קיים רק בדמיון. בפןעל, אין באמת מספר שאם נעלה אןתו בריבוע, נקבל 1-.

הגדירו את השורש של מינוס אחת להיות i. למעשה גם -i מהווה פיתרון למשוואה x^2=-1, אבל אני לא אכנס לזה. בעיקרון הרעיון הוא ליצור קבוצה חדשה של מספרים, כמו שקבוצת המספרים הממשיים מכילה את קבוצת הרציונלים, היא את קבוצת השלמים והיא את קבוצת הטבעיים. קבוצת המספרים המרוכבים, לעומת זאת, מכילה את קבוצת המספרים הממשיים ולכן גם את כל הקבוצות שהיא מכילה. המשמעות היא שכל מספר שאתה מכיר הוא למעשה מרוכב. בכל אופן, כשמרחיבים קבוצות מספרים קיימות לקבוצות גדולות יותר, משתדלים לשמור כמה שיותר על התכונות הקודמות (מגדירים את פעולות החשבון בהרחבה וכו, כמו שאפשר להעלות מספר בחזקת מספר שאינו טבעי ועדיין לקבל תוצאה, אפילו שזה למעשה לא לכפול את המספר בעצמו מספר כלשהו של פעמים), אבל תמיד מאבדים גם את חלק מהתכונות שרלוונטיות רק בקבוצות ספציפיות יותר של מספרים. מספרים מרוכבים שאינם גם ממשיים לא יכולים להיות גדולים או קטנים אחד מהשני, שליליים, חיוביים או זוגיים ואי זוגיים. זה ממש כמו שהמספר 2.5 לא זוגי ולא אי זוגי - זו תכונה של המספרים השלמים. מספר מרוכב הוא מספר מהצורה a+bi כאשר a ו-b הם מספרים ממשיים ו-i הוא מה שהגדרתי קודם. ההצגה הזו נקראת הצגה קרטזית, כי היא למעשה מציינת נקודה על מערכת צירים קרטזית (אם אתה יודע מה זו מכפלה קרטזית של קבוצות. אם לא, תדמיין ציר x וציר y כאשר ציר x הוא ערכי ה-a וציר ה-y הוא ערכי ה-b. המספר a+bi יתאים לנקודה (a,b)). קיימת גם הצגה קוטבית, שהיא בעצם לקחת את הווקטור שמתאים לנקודה במישור שמתאימה למספר המרוכב (מראשית הצירים לנקודה), ולהציג את המספר בעזרת אורך הווקטור והזווית שהוא יוצר עם הציר האופקי. בעזרת נוסחאת אוילר, ההצגה הזו נעזרת בפונקציית האקספוננט. ההצגה הקוטבית היא הצגה מהצורה re^si, כאשר r הוא מספר ממשי שמייצג את אורך הווקטור המתאים ו-s היא זווית הנמדדת ברדיאנים (ממשית כמובן) שמייצגת את בזווית שהוא יוצר עם הציר האופקי. נוסחאת אוילר קובעת ש- e^si=cos(s)+isin(s) , מה שמוכר בלימודים בתיכון כ- cis(s). בעזרת טריגו בסיסי במישור אפשר להראות ש-a=rcos(s) וש-b=rsin(s), ובעזרת נוסחאת אוילר מקבלים את ההצגה הקוטבית. מספרים מרוכבים שימושיים *מאוד*, במפתיע, בעיקר בפיזיקה ובהנדסה (וכמובן שבמתמטיקה). אם שמעת במקרה על הזהות e^pii=-1, זה קשור מאוד.