10 תשובות
אם את מדברת על אי שוויון ממעלה ראשונה (אין x^2 או יותר גבוה) זה לא נורא שונה ממשוואה רגילה. זה כמו משוואה רגילה אבל במקום שווה יש סימן אחר ואם מכפילים או מחלקים במספר שלילי "הופכים" את הסימן.
לדוגמה:
2x + 4 > 22-
מורידים ארבע משני האגפים:
2x > 18-
ואז מחלקים במינוס שתיים:
x < -9
זאת התשובה.
בגלל שחילקנו במספר שלילי, הסימן (גדול מ) נהפך (הופך לקטן מ).
זה אותו דבר עם קטן שווה/גדול שווה, קטן שווה הופך לגדול שווה ולהפך
לדוגמה:
2x + 4 > 22-
מורידים ארבע משני האגפים:
2x > 18-
ואז מחלקים במינוס שתיים:
x < -9
זאת התשובה.
בגלל שחילקנו במספר שלילי, הסימן (גדול מ) נהפך (הופך לקטן מ).
זה אותו דבר עם קטן שווה/גדול שווה, קטן שווה הופך לגדול שווה ולהפך
אוקיי אז יש זמן עד רביעי. כשאת תביני את שלבי הפתרון זה באמת בקטנה ועניין של תרגול. רק לפני שאני אתן הסבר אני אצטרך לדעת: למדתם פונקציות ותחומי חיוביות ושליליות? ולמדתם אי שוויונים עם שברים עם נעלם במכנה?
^ מצטרף לשאלה של i will keep on
אי שוויונות עם שברים עם משתנה במכנה זה קצת יותר מסובך
אי שוויונות עם שברים עם משתנה במכנה זה קצת יותר מסובך
שואל השאלה:
למדנו פונקציות ותחומי שליליות וחיוביות
וגם שברים עם נעלם במכנה
למדנו פונקציות ותחומי שליליות וחיוביות
וגם שברים עם נעלם במכנה
אנונימית
שואל השאלה:
הנה סתם דוגמא לשאלה שאנחנו צריכים לדעת
הנה סתם דוגמא לשאלה שאנחנו צריכים לדעת
אנונימית
למדתם מערכות "או" ו"וגם"?
שואל השאלה:
אין לי מושג על מה מדובר.. אמי רק יודעת שצריך לפתור את זה עפ נוסחאות הכפל המקוצר
אין לי מושג על מה מדובר.. אמי רק יודעת שצריך לפתור את זה עפ נוסחאות הכפל המקוצר
אנונימית
אוקיי, אז לא למדתם את זה
(כן זו תהיה חפירה מאוד חפירתית)
נתחיל מהסבר כללי:
> כלומר קטן מ , < כלומר גדול מ , > עם קו מתחת כלומר קטן שווה ל , < עם קו מתחת כלומר גדול שווה ל
באי שוויונים יש חוק: אם מכפילים / מחלקים את האי שוויון במספר שלילי, סימן האי שוויון מתהפך.
אני אתחיל מהסבר על אי שוויונות ללא שברים:
באי שוויונים ממעלה ראשונה:
נעשה כמו שוויון רגיל
נתחיל מפתיחת סוגריים במידת הצורך
נעביר אגפים (איקסים לצד אחד וקבועים לצד שני)
נכנס איברים
נחלק / נכפיל את האוי שוויון כך שמקדם האיקס יהיה 1
אם למדתם - אז לשרטט את הפתרון בציר
אגב לגבי הציר, לשים לב אם צריך להשאיר את העיגול ריק או מלא.
לדוגמה 3x + 2 - 10 < 2x + 5x
אין צורך בפתיחת סוגריים
נעביר אגפים - איקסים לצד שמאל, קבועים לצד ימין, ונהפוך סימן בעת ההעברה
3x - 2x - 5x < 10 - 2
נכנס איברים
4x < 8-
נחלק ב4- כדי שלאיקס יהיה מקדם 1 (ושימי לב, אנחנו מחלקים במספר שלילי, אז סימן האי שוויון מתהפך
x > -2
ושרטוט הפתרון
רק אציין בנוגע להפיכת הסימן, גם אם המספר עצמו בתוך המשוואה הוא שלילי ואנחנו מחלקים במספר חיובי, אנחנו לא נהפוך את הסימן של האי שוויון, למשל
2x < -8
אמנם 8- הוא שלילי אבל אנחנו נחלק את המשוואה ב2 שהוא חיובי והתוצאה תהיה
x < -4
אי שוויונים ריבועיים (ממעלה שניה):
נתחיל מפתיחת סוגריים במידת הצורך
כאן, אנחנו נעביר את הכל לאגף אחד - גם איקסים וגם קבועים, כך שבאגף השני יהיה 0
נכנס איברים, כך שלבסוף יהיה לנו אי שוויון כאשר בצד אחד משוואה מצורה של פרבולה, ובצד השני 0
נשרטט סקיצה של הפרבולה לפי סימן המקדם ונציין את נקודות החיתוך עם ציר ה-x (מעבר לזה לא צריך)
לפי הסקיצה למצוא את פתרון האי שוויון.
אני קודם אסביר את ההיגיון מאחורי השלבים: למשל יש לנו x^2 - 3x + 4 < 0
את רואה שהביטוי באגף השמאלי הוא כמו פרבולה. עכשיו, אם בהתייחס לפרבולות, מה זה אומר שהפרבולה קטנה מ-0? זה התחום שבו היא שלילית, כלומר מתחת לציר ה-x. אז בעצם בגלל זה אחרי הסידור של פרבולה בצד אחד, 0 בצד שני, אנחנו משרטטים סקיצה של הפרבולה ולפיה אנחנו רואים מתי הפרבולה, במקרה הזה, שלילית כלומר מתחת לציר ה-x.
אז לסקיצה אנחנו נמצא את נקודות החיתוך, כמו שאנחנו יודעים על ידי השוואתה ל-0. וגם נזהה אם הפונקציה ישרה או הפוכה, ולפי זה נשרטט.
ניקח את התרגיל הראשון בתמונה ששלחת:
2 - < (x+1)(x-1) - (2x-3)^2
נפתח סוגריים
4x^2 -12x + 9 - (x^2 - 1) > -2
שימי לב שעדיין השארתי את הסוגריים כדי לא להתבלבל עם המינוס
4x^2 -12x + 9 - x^2 + 1 > -2
עכשיו נעביר הכל לאגף אחד, נהפוך סימן בעת ההעברה
4x^2 -12x + 9 - x^2 + 1 + 2 > 0
נכנס איברים
3x^2 -12x + 12 > 0
בעקרון את יכולה לחלק את האי שוויון ב3 אם נוח לך. שימי לב ש3 הוא חיובי אז לא צריך להפוך את סימן
x^2 - 4x + 4 > 0
עכשיו נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-x
x^2 - 4x + 4 = 0
(x-2)^2 = ל0
x = 2
נזהה את סוג הפרבולה: מקדם 1 חיובי, כלומר פרבולה ישרה
נשרטט ונראה מה מבקשים מאיתנו: שואלים מתי הפרבולה גדולה מ0, כלומר מעל ציר ה-x. בשרטוט את רואה שהפרבולה תמיד מעל ציר האיקס חוץ מכאשר x=2, ששם היא על הציר. כלומר הפתרון הוא x<2 או x>2
ואת משרטטת בציר
לדוגמה אם האי שוויון היה
x^2 - 4x + 4 -> 0 (גדול שווה) אז הפתרון היה כל x
ואם האי שוויון היה קטן מ, אז הפתרון היה אף x
אי שוויונים עם שברים:
מתחילים בתחום הגדרה.
עכשיו, המטרה היא להגיע לאי שוויון כאשר בצד אחד יש שבר אחד, ובצד השני 0.
אז נתחיל מלהעביר את הכל לאגף אחד, ולסדר את השברים כדי למצוא מכנה משותף יותר בקלות. אבל - לעומת משוואות רגילות שבהן אנחנו נפטרים מהמכנה, כאן אנחנו משאירים אותו ומעבירים את הכל לקו שבר אחד.
הסיבה היא שכביכול כשאנחנו נפטרים מהמכנה אנחנו מכפילים את המשוואה בו נכון? אז הקטע הוא שכאן בגלל שיש נעלם במכנה, אנחנו לא יודעים אם אנחנו נכפיל את האי שוויון בביטוי שלילי או חיובי, כי אנחנו לא יודעים מהו תחום הפתרונות, כלומר לא נדע אם צריך להפוך את כיוון הסימן של האי שוויון. לכן, אנחנו הופכים לקו שבר אחד.
אחרי שאנחנו מעבירים לקו שבר אחד, אנחנו יוצרים טבלה:
ניצור טבלה, ובה יהיו עמודות של ערכי האיקס שמאפסים את המונה ואת המכנה (מוצאים אותם על ידי השוואת כל אחד ל0).
נבדוק באילו טווחים של ערכי איקס השבר יהיה חיובי / שלילי / שווה ל0, וככה נגיע לתוצאה.
לדוגמה - התרגיל בקישור הזה:
http://www.up2me.co.il/imgs/76456848.jpg
נתחיל מתחום הגדרה:
מהמכנה של השבר השני: איקס לא שווה 3
מהמכנה של השבר הראשון: הופכים ל(x-3)(x-2) לכן איקס לא שווה 2, 3
סך הכל: איקס לא שווה 3, איקס לא שווה 2
עכשיו צריך להגיע למכנה משותף כדי לעבור לקו שבר אחד:
אפשר להבין שהמכנה המשותף הוא (x-3)(x-2) כלומר את השבר הראשון משאירים כמו שהוא, ואת המונה והמכנה בשבר השני מכפילים ב(x-2)
מאחדים לקו שבר אחד: 1+x(x-2) חלקי המכנה המשותף
פותחים את המונה ויוצא x^-2x+1
עכשיו, את המכנה אנחנו משאירים ולא נפטרים ממנו כי אנחנו עלולים בעצם להכפיל במספר שלילי וככה אנחנו לא יודעים אם הסימן מתהפך או לא, לכן נשאיר את השבר כמו שהוא.
ניצור טבלה, ובה יהיו עמודות של ערכי האיקס שמאפסים את המונה ואת המכנה.
במקרה הזה, צריך לבדוק באילו טווחים של ערכי איקס השבר יהיה חיובי, וככה נגיע לתוצאה.
אני מצרפת קישור לטבלה הזו שתביני על מה מדובר.
שימי לב שאת הצבת ה+ וה- עשיתי כמו הדרך שפותרים אי שוויון ריבועי - שרטטתי את פרבולת המכנה ואת פרבולת המונה, ולפי זה הצבתי בין הטווחים אם הם חיוביים שם או שליליים.
אחרי זה את רואה מה יוצאת המנה:
פלוס חלקי פלוס = פלוס
מינוס חלקי מינוס = פלוס
פלוס חלקי מינוס = מינוס
מינוס חלקי פלוס = מינוס
אפס חלקי פלוס / מינוס = 0
פלוס / מינוס חלקי אפס = לא מוגדר (זה בעצם מחוץ לתחום ההגדרה)
ואז למטה את כותבת פתרון סופי לפי הטווחים
נתחיל מהסבר כללי:
> כלומר קטן מ , < כלומר גדול מ , > עם קו מתחת כלומר קטן שווה ל , < עם קו מתחת כלומר גדול שווה ל
באי שוויונים יש חוק: אם מכפילים / מחלקים את האי שוויון במספר שלילי, סימן האי שוויון מתהפך.
אני אתחיל מהסבר על אי שוויונות ללא שברים:
באי שוויונים ממעלה ראשונה:
נעשה כמו שוויון רגיל
נתחיל מפתיחת סוגריים במידת הצורך
נעביר אגפים (איקסים לצד אחד וקבועים לצד שני)
נכנס איברים
נחלק / נכפיל את האוי שוויון כך שמקדם האיקס יהיה 1
אם למדתם - אז לשרטט את הפתרון בציר
אגב לגבי הציר, לשים לב אם צריך להשאיר את העיגול ריק או מלא.
לדוגמה 3x + 2 - 10 < 2x + 5x
אין צורך בפתיחת סוגריים
נעביר אגפים - איקסים לצד שמאל, קבועים לצד ימין, ונהפוך סימן בעת ההעברה
3x - 2x - 5x < 10 - 2
נכנס איברים
4x < 8-
נחלק ב4- כדי שלאיקס יהיה מקדם 1 (ושימי לב, אנחנו מחלקים במספר שלילי, אז סימן האי שוויון מתהפך
x > -2
ושרטוט הפתרון
רק אציין בנוגע להפיכת הסימן, גם אם המספר עצמו בתוך המשוואה הוא שלילי ואנחנו מחלקים במספר חיובי, אנחנו לא נהפוך את הסימן של האי שוויון, למשל
2x < -8
אמנם 8- הוא שלילי אבל אנחנו נחלק את המשוואה ב2 שהוא חיובי והתוצאה תהיה
x < -4
אי שוויונים ריבועיים (ממעלה שניה):
נתחיל מפתיחת סוגריים במידת הצורך
כאן, אנחנו נעביר את הכל לאגף אחד - גם איקסים וגם קבועים, כך שבאגף השני יהיה 0
נכנס איברים, כך שלבסוף יהיה לנו אי שוויון כאשר בצד אחד משוואה מצורה של פרבולה, ובצד השני 0
נשרטט סקיצה של הפרבולה לפי סימן המקדם ונציין את נקודות החיתוך עם ציר ה-x (מעבר לזה לא צריך)
לפי הסקיצה למצוא את פתרון האי שוויון.
אני קודם אסביר את ההיגיון מאחורי השלבים: למשל יש לנו x^2 - 3x + 4 < 0
את רואה שהביטוי באגף השמאלי הוא כמו פרבולה. עכשיו, אם בהתייחס לפרבולות, מה זה אומר שהפרבולה קטנה מ-0? זה התחום שבו היא שלילית, כלומר מתחת לציר ה-x. אז בעצם בגלל זה אחרי הסידור של פרבולה בצד אחד, 0 בצד שני, אנחנו משרטטים סקיצה של הפרבולה ולפיה אנחנו רואים מתי הפרבולה, במקרה הזה, שלילית כלומר מתחת לציר ה-x.
אז לסקיצה אנחנו נמצא את נקודות החיתוך, כמו שאנחנו יודעים על ידי השוואתה ל-0. וגם נזהה אם הפונקציה ישרה או הפוכה, ולפי זה נשרטט.
ניקח את התרגיל הראשון בתמונה ששלחת:
2 - < (x+1)(x-1) - (2x-3)^2
נפתח סוגריים
4x^2 -12x + 9 - (x^2 - 1) > -2
שימי לב שעדיין השארתי את הסוגריים כדי לא להתבלבל עם המינוס
4x^2 -12x + 9 - x^2 + 1 > -2
עכשיו נעביר הכל לאגף אחד, נהפוך סימן בעת ההעברה
4x^2 -12x + 9 - x^2 + 1 + 2 > 0
נכנס איברים
3x^2 -12x + 12 > 0
בעקרון את יכולה לחלק את האי שוויון ב3 אם נוח לך. שימי לב ש3 הוא חיובי אז לא צריך להפוך את סימן
x^2 - 4x + 4 > 0
עכשיו נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-x
x^2 - 4x + 4 = 0
(x-2)^2 = ל0
x = 2
נזהה את סוג הפרבולה: מקדם 1 חיובי, כלומר פרבולה ישרה
נשרטט ונראה מה מבקשים מאיתנו: שואלים מתי הפרבולה גדולה מ0, כלומר מעל ציר ה-x. בשרטוט את רואה שהפרבולה תמיד מעל ציר האיקס חוץ מכאשר x=2, ששם היא על הציר. כלומר הפתרון הוא x<2 או x>2
ואת משרטטת בציר
לדוגמה אם האי שוויון היה
x^2 - 4x + 4 -> 0 (גדול שווה) אז הפתרון היה כל x
ואם האי שוויון היה קטן מ, אז הפתרון היה אף x
אי שוויונים עם שברים:
מתחילים בתחום הגדרה.
עכשיו, המטרה היא להגיע לאי שוויון כאשר בצד אחד יש שבר אחד, ובצד השני 0.
אז נתחיל מלהעביר את הכל לאגף אחד, ולסדר את השברים כדי למצוא מכנה משותף יותר בקלות. אבל - לעומת משוואות רגילות שבהן אנחנו נפטרים מהמכנה, כאן אנחנו משאירים אותו ומעבירים את הכל לקו שבר אחד.
הסיבה היא שכביכול כשאנחנו נפטרים מהמכנה אנחנו מכפילים את המשוואה בו נכון? אז הקטע הוא שכאן בגלל שיש נעלם במכנה, אנחנו לא יודעים אם אנחנו נכפיל את האי שוויון בביטוי שלילי או חיובי, כי אנחנו לא יודעים מהו תחום הפתרונות, כלומר לא נדע אם צריך להפוך את כיוון הסימן של האי שוויון. לכן, אנחנו הופכים לקו שבר אחד.
אחרי שאנחנו מעבירים לקו שבר אחד, אנחנו יוצרים טבלה:
ניצור טבלה, ובה יהיו עמודות של ערכי האיקס שמאפסים את המונה ואת המכנה (מוצאים אותם על ידי השוואת כל אחד ל0).
נבדוק באילו טווחים של ערכי איקס השבר יהיה חיובי / שלילי / שווה ל0, וככה נגיע לתוצאה.
לדוגמה - התרגיל בקישור הזה:
http://www.up2me.co.il/imgs/76456848.jpg
נתחיל מתחום הגדרה:
מהמכנה של השבר השני: איקס לא שווה 3
מהמכנה של השבר הראשון: הופכים ל(x-3)(x-2) לכן איקס לא שווה 2, 3
סך הכל: איקס לא שווה 3, איקס לא שווה 2
עכשיו צריך להגיע למכנה משותף כדי לעבור לקו שבר אחד:
אפשר להבין שהמכנה המשותף הוא (x-3)(x-2) כלומר את השבר הראשון משאירים כמו שהוא, ואת המונה והמכנה בשבר השני מכפילים ב(x-2)
מאחדים לקו שבר אחד: 1+x(x-2) חלקי המכנה המשותף
פותחים את המונה ויוצא x^-2x+1
עכשיו, את המכנה אנחנו משאירים ולא נפטרים ממנו כי אנחנו עלולים בעצם להכפיל במספר שלילי וככה אנחנו לא יודעים אם הסימן מתהפך או לא, לכן נשאיר את השבר כמו שהוא.
ניצור טבלה, ובה יהיו עמודות של ערכי האיקס שמאפסים את המונה ואת המכנה.
במקרה הזה, צריך לבדוק באילו טווחים של ערכי איקס השבר יהיה חיובי, וככה נגיע לתוצאה.
אני מצרפת קישור לטבלה הזו שתביני על מה מדובר.
שימי לב שאת הצבת ה+ וה- עשיתי כמו הדרך שפותרים אי שוויון ריבועי - שרטטתי את פרבולת המכנה ואת פרבולת המונה, ולפי זה הצבתי בין הטווחים אם הם חיוביים שם או שליליים.
אחרי זה את רואה מה יוצאת המנה:
פלוס חלקי פלוס = פלוס
מינוס חלקי מינוס = פלוס
פלוס חלקי מינוס = מינוס
מינוס חלקי פלוס = מינוס
אפס חלקי פלוס / מינוס = 0
פלוס / מינוס חלקי אפס = לא מוגדר (זה בעצם מחוץ לתחום ההגדרה)
ואז למטה את כותבת פתרון סופי לפי הטווחים
סליחה שזה לקח זמן, לא מצאתי דוגמה לתרגיל עם מכנה עם נעלם.
הנה פתרון של אחד:
הנה פתרון של אחד: