2 תשובות
מדובר פה בבעיית תנועה עם שתי מכוניות אשר נוסעות זו עם זו באותו כיוון, אם אין אני טועה?
ובכן, בכדי לגשת לבעיית תנועה שכזו ראשית עלינו לנתח את המתרחש. במידת הצורך, ניתן להיעזר בתרשים על מנת להמחיש את תיאורי הבעיה.
נתחיל לנתח את תנועתה של מכונית א', מטעמי נוחות בלבד, אין כל סיבה לבחירה של ניתוח התנועה של מכונית זו וניתן גם להתחיל לנתח קודם גם את תנועתה של מכונית ב', שכן אין לכך חשיבות.
מכונית א' נסעה את כל הדרך במהירות של חמישים ושישה קילומטרים לשעה. אין אנו יודעים את הדרך ואת הזמן שלקח למכונית א' לעבור דרך זו, על כן נוכל לסמן שהדרך שמכונית א' עברה היא: ab, שכן היא עברה את הדרך מ- a ל- b, אך כמובן אין שום חשיבות לבחירת המשתנה שאיתו אנו בוחרים לסמן ובכלל אין כל חשיבות לאם אנו בוחרים לסמן את הדרך כמשתנה או את הזמן כמשתנה, שכן בסופו של דבר נקבל את אותה התוצאה. בכל מקרה, לאחר שסימנו את הדרך כ- ab, נוכל להשתמש בנוסחה של מכפלת המהירות בזמן שווה לדרך, על מנת להביע את הזמן שבו המכונית עברה את הדרך ab:
v*t=s
t*56=ab
t=ab/56
כלומר שמכונית א' עברה את הדרך ab ב-
ab/56 שעות (טרם ידוע ערך מספרי).
כעת נתחיל לנתח את תנועתה של מכונית ב', אשר קצת מורכבת יותר מזו של מכונית א':
מכונית ב' נסעה שעתיים במהירות של שישים וארבעה קילומטרים לשעה. נוכל למצוא את הדרך שמכונית זו עברה על ידי שימוש בנוסחה שאומרת כי מכפלת המהירות בזמן שווה לדרך:
s=v*t=64*2=128
כלומר שמכונית ב' בפרק זמן זה עברה מרחק של מאה עשרים ושמונה קילומטרים.
לאחר מכן, מכונית ב' התעכבה במשך שלוש שעות לכן עלינו לקחת זאת בחשבון. כלומר סך הכול עד עכשיו עברו חמש שעות בדיוק, מאז יציאתה של מכונית ב'. כעת מכונית ב' נוסעת את יתר דרכה במהירות של 80 קמ"ש.
את המרחק הכולל ששתי המכוניות עברו החלטתי לסמן ב- ab וגילינו כי מכונית ב' כבר עברה מרחק של מאה עשרים ושמונה קילומרים, כלומר המרחק שנותר לה הוא:
ab-128 ק"מ עד להגעתה לעיר b, מהמקום בו עצרה. נוכל כעת להביע את הזמן שלקח למכונית ב' לעבור דרך זו באמצעות המשתנה ab, ובעזרת הנוסחה שאומרת כי מכפלת המהירות בזמן שווה לדרך:
s=vt
ab-128=80t
t=(ab-128)/80
כעת אנו יכולים לדעת מה הוא הזמן הכולל שבו מכונית ב' עברה את הדרך ab, מובע באמצעות המשתנה ab כמובן. מכונית ב' נסעה שעתיים, התעכבה שלוש שעות ולאחר מכן נסעה עוד t=(ab-128)/80 שעות עד הגעתה לעיר ב', לכן הזמן הכולל שלקח למכונית ב' לעבור את הדרך ab הינו:
t=2+3+(ab-128)/80=5+(ab-128)/80
תזכורת: הזמן הכולל שלקח למכונית א' לעבור דרך זו: t=ab/56.
ידוע: מכונית א' הגיעה לעיר b שעה לפני מכונית ב'. על כן, הזמן שלקח למכונית ב' לעבור את הדרך ab הינו ארוך יותר בשעה אחת מהזמן שלקח למכונית א' לעבור דרך זו, שכן שתי המכוניות יצאו בו-זמנית ומכונית א' הגיעה לפני.
במילים אחרות, אם נרצה לכתוב זאת בדרך אלגברית נוכל לכתוב:
t=t+1
כאשר t מייצג את הזמן של מכונית ב', ו- t מייצג את הזמן של מכונית א'.
כעת נציב את ממצאינו מניתוח שאלה:
t=ab/56
t=5+(ab-128)/80
i. 5+(ab-128)/80=ab/56+1
נוכל להעביר אגפים:
ab/56=(ab-128)/80+4
מכנה משותף למשוואה: 56*80.
נכפיל בו את אגפי המשוואה ונקבל:
80ab=56(ab-128)+4*80*56
כעת נפתח סוגריים ונכנס:
80ab=56ab-7,168+17,920
14ab=10,752
נצמצמם את שני אגפי המשוואה ב- 14:
ab=768
מפאת העובדה שסימנו את המרחק בין הערים a ו- b כ- ab, ומפתרון המשוואה מצאנו כי ab=768, נוכל לומר כי המרחק בין שתי הערים, a ו- b, הינו שבע מאות שישים ושמונה קילומטרים.
ובכן, בכדי לגשת לבעיית תנועה שכזו ראשית עלינו לנתח את המתרחש. במידת הצורך, ניתן להיעזר בתרשים על מנת להמחיש את תיאורי הבעיה.
נתחיל לנתח את תנועתה של מכונית א', מטעמי נוחות בלבד, אין כל סיבה לבחירה של ניתוח התנועה של מכונית זו וניתן גם להתחיל לנתח קודם גם את תנועתה של מכונית ב', שכן אין לכך חשיבות.
מכונית א' נסעה את כל הדרך במהירות של חמישים ושישה קילומטרים לשעה. אין אנו יודעים את הדרך ואת הזמן שלקח למכונית א' לעבור דרך זו, על כן נוכל לסמן שהדרך שמכונית א' עברה היא: ab, שכן היא עברה את הדרך מ- a ל- b, אך כמובן אין שום חשיבות לבחירת המשתנה שאיתו אנו בוחרים לסמן ובכלל אין כל חשיבות לאם אנו בוחרים לסמן את הדרך כמשתנה או את הזמן כמשתנה, שכן בסופו של דבר נקבל את אותה התוצאה. בכל מקרה, לאחר שסימנו את הדרך כ- ab, נוכל להשתמש בנוסחה של מכפלת המהירות בזמן שווה לדרך, על מנת להביע את הזמן שבו המכונית עברה את הדרך ab:
v*t=s
t*56=ab
t=ab/56
כלומר שמכונית א' עברה את הדרך ab ב-
ab/56 שעות (טרם ידוע ערך מספרי).
כעת נתחיל לנתח את תנועתה של מכונית ב', אשר קצת מורכבת יותר מזו של מכונית א':
מכונית ב' נסעה שעתיים במהירות של שישים וארבעה קילומטרים לשעה. נוכל למצוא את הדרך שמכונית זו עברה על ידי שימוש בנוסחה שאומרת כי מכפלת המהירות בזמן שווה לדרך:
s=v*t=64*2=128
כלומר שמכונית ב' בפרק זמן זה עברה מרחק של מאה עשרים ושמונה קילומטרים.
לאחר מכן, מכונית ב' התעכבה במשך שלוש שעות לכן עלינו לקחת זאת בחשבון. כלומר סך הכול עד עכשיו עברו חמש שעות בדיוק, מאז יציאתה של מכונית ב'. כעת מכונית ב' נוסעת את יתר דרכה במהירות של 80 קמ"ש.
את המרחק הכולל ששתי המכוניות עברו החלטתי לסמן ב- ab וגילינו כי מכונית ב' כבר עברה מרחק של מאה עשרים ושמונה קילומרים, כלומר המרחק שנותר לה הוא:
ab-128 ק"מ עד להגעתה לעיר b, מהמקום בו עצרה. נוכל כעת להביע את הזמן שלקח למכונית ב' לעבור דרך זו באמצעות המשתנה ab, ובעזרת הנוסחה שאומרת כי מכפלת המהירות בזמן שווה לדרך:
s=vt
ab-128=80t
t=(ab-128)/80
כעת אנו יכולים לדעת מה הוא הזמן הכולל שבו מכונית ב' עברה את הדרך ab, מובע באמצעות המשתנה ab כמובן. מכונית ב' נסעה שעתיים, התעכבה שלוש שעות ולאחר מכן נסעה עוד t=(ab-128)/80 שעות עד הגעתה לעיר ב', לכן הזמן הכולל שלקח למכונית ב' לעבור את הדרך ab הינו:
t=2+3+(ab-128)/80=5+(ab-128)/80
תזכורת: הזמן הכולל שלקח למכונית א' לעבור דרך זו: t=ab/56.
ידוע: מכונית א' הגיעה לעיר b שעה לפני מכונית ב'. על כן, הזמן שלקח למכונית ב' לעבור את הדרך ab הינו ארוך יותר בשעה אחת מהזמן שלקח למכונית א' לעבור דרך זו, שכן שתי המכוניות יצאו בו-זמנית ומכונית א' הגיעה לפני.
במילים אחרות, אם נרצה לכתוב זאת בדרך אלגברית נוכל לכתוב:
t=t+1
כאשר t מייצג את הזמן של מכונית ב', ו- t מייצג את הזמן של מכונית א'.
כעת נציב את ממצאינו מניתוח שאלה:
t=ab/56
t=5+(ab-128)/80
i. 5+(ab-128)/80=ab/56+1
נוכל להעביר אגפים:
ab/56=(ab-128)/80+4
מכנה משותף למשוואה: 56*80.
נכפיל בו את אגפי המשוואה ונקבל:
80ab=56(ab-128)+4*80*56
כעת נפתח סוגריים ונכנס:
80ab=56ab-7,168+17,920
14ab=10,752
נצמצמם את שני אגפי המשוואה ב- 14:
ab=768
מפאת העובדה שסימנו את המרחק בין הערים a ו- b כ- ab, ומפתרון המשוואה מצאנו כי ab=768, נוכל לומר כי המרחק בין שתי הערים, a ו- b, הינו שבע מאות שישים ושמונה קילומטרים.
אנונימי
שואל השאלה:
תודה רבה!
תודה רבה!
אנונימית